今日はこのような問題を考えていきたいと思います。
１から６までの番号の書いてあるさいころを6回振り、1が出るかを見る
問１：この時少なくとも1回以上1がでる確率は？
次に１からNまでの番号の書いてあるさいころをN回振る。
問２：この時少なくとも1回以上1がでる確率は？
問1：６つの目があるさいころで、１回振って１が出る確率は$\frac{1}{6}$です。よって、１回振って１以外の目が出る確率は$\frac{5}{6}$となります。
ここで、6回振ってみましょう。「６回のうち少なくとも1が1回出る」という事象の余事象は「６回振って、すべての回で１以外の目が出る」ということです。後者の確率は$\frac{5}{6}$を6回かけて、$\left(\frac{5}{6}\right)^6$です。よって求める確率は
$$1-\left(\frac{5}{6}\right)^6\left(=\frac{31031}{46656}\right)$$
です。
問2：問１で「６」だったものを一般の「N」に置き換えてみます。 １回振って１が出る確率は$\frac{1}{N}$です。よって、１回振って１以外の目が出る確率は$1-\frac{1}{N}$となります。次にN回振ってみましょう。「N回のうち少なくとも1が1回出る」という事象の余事象は「N回振って、すべての回で１以外の目が出る」ということです。後者の確率は$\left(1-\frac{1}{N}\right)^N$です。よって求める確率は
$$1-\left(1-\frac{1}{N}\right)^N$$
となります。
では本題
すごろくなどなんでもいいのですが、さいころを使ったときに「さいころのある目が出る確率は$\frac{1}{6}$だから、６回に１回出るね」のような言い方をしてしまうときがあるのではないかと思うのですが、これについて考察してみましょう。
上の問題では「１から６までの番号の書いてあるさいころを6回振り、1が出るかを見る」ということを考えました。一つの目が出る確率は確かに$\frac{1]{6}$なのですが、6回振って1が出る確率は1にならないです。つまり、6回振って1が必ず出るとは限らないということです。（逆に、運よく２回、３回と出ることもあります。）
また、問２では試に６を「N」に一般化してみました。要するに、「$\frac{1}{N}$の確率で１が出るさいころをN回振ってみた。」ということですね。こう考えてみても、$\frac{1}{N}$の確率で１が出るさいころをN回振って１が出てくる確率は1になるどころか$N\to\infty$を考えると
$$\lim_{N\to\infty}1-\left(1-\frac{1}{N}\right)^N=1-\frac{1}{e}=0.63212…$$
のようになるので、せいぜいこの確率で頭打ちになるということです。
そうすると、以下の疑問が出てきます。
さいころの１の目が出る確率$\frac{1}{6}$とはどういうこと？
もっと一般に、「確率$\frac{b}{a}$である」とは、a回の試行のうちb回がその事象になるといってはいけないのか？
確率の本質にかかわることですので、次回書こうと思います。
補足：何しろ初めてこのようなブログ形式の文章を書くので、いろいろなミスやまとまりのない部分などあったらすみません。